ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥΣΩΜΑΤΟΣΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥΣΩΜΑΤΟΣ
Ένα πρόβλημαΈνα πρόβλημα
ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ
ΑΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥΑΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Ένα στεφάνι με μάζα m και ακτίνα R, περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω.
Να υπολογίσετε τη στροφορμή του ως προς το σημείο Κ.
ΚΚ
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Ας υπολογίσουμε τις στροφορμές, ως προς το Κ, δυο αντιδιαμετρικών στοιχειωδώνμαζών του στεφανιού.
υγρ
υγρ
ΚΚ
r1
r2
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Αν υπολογίσουμε τις στροφορμές, ως προς το Κ, δυο άλλων αντιδιαμετρικώνστοιχειωδών μαζών του στεφανιού…
υγρ
υγρ
ΚΚ
r3
r4
ΚΚ
Ετσι για όλα τα ζευγάρια στοιχειωδών μαζών του στεφανιού, η στροφορμή ως προς τοΚ θα είναι:
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
λόγω της ιδιοπεριστροφής του έχει την δυνατότητα να εκδηλώσειπεριστροφή γύρω απ’ το Κ Η ύπαρξη στροφορμής ως προς το σημείο Κ, μας δείχνει ότι το στεφάνι,λόγω της ιδιοπεριστροφής του έχει την δυνατότητα να εκδηλώσειπεριστροφή γύρω απ’ το Κ .
Φανταστείτε το στεφάνι να έχει ένα μικρό γαντζάκι στην περιφέρειά τουκαι όπως γυρίζει να «σκαλώνει» σ’ ένα ακλόνητο άξονα Κ, που εφάπτεταιστην περιφέρεια.
Κ
όμως η στροφορμή του ως προς αυτόν το άξονα θα πρέπει να παραμείνεισταθερή Το στεφάνι δέχεται μια ισχυρή δύναμη κατά την κρούση του με τον άξονα,όμως η στροφορμή του ως προς αυτόν το άξονα θα πρέπει να παραμείνεισταθερή (η δύναμη που δέχεται έχει μηδενική ροπή ως προς το Κ)
Έτσι θα εκδηλωθεί περιστροφή του στεφανιού γύρω απ’ αυτόν τον άξονα,με κέντρο το ακλόνητο σημείο στο γαντζάκι και γωνιακή ταχύτητα που θαυπολογιστεί απ’ τη διατήρηση της στροφορμής.
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Κ
To στεφάνι θα κινηθεί κάπως έτσι.
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Στην περίπτωση που το στεφάνι κάνει σύνθετη κίνηση (μεταφορική και περιστροφική)η στροφορμή του ως προς το Κ, θα είναι το άθροισμα των στροφορμών των επιμέρουςκινήσεων ως προς το Κ:
ΚΚ
r
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Σαν εφαρμογή της ανάλυσης που κάναμε, ας βρούμε την ελάχιστη ταχύτητα που πρέπεινα έχει το στεφάνι της παρακάτω εικόνας, ώστε κυλιόμενο χωρίς να ολισθαίνει, μόλις ναυπερπηδήσει το πεζούλι ύψους h.Σαν εφαρμογή της ανάλυσης που κάναμε, ας βρούμε την ελάχιστη ταχύτητα που πρέπεινα έχει το στεφάνι της παρακάτω εικόνας, ώστε κυλιόμενο χωρίς να ολισθαίνει, μόλις ναυπερπηδήσει το πεζούλι ύψους h.
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Η στροφορμή του στεφανιού ως προς το Κ, πριν την πρόσκρουση στο Κ, σύμφωνα μετην προηγούμενη ανάλυση, είναι:
Η στροφορμή του στεφανιού ως προς το Κ, μετά την πρόσκρουση στο Κ, είναι:
K
Κ
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Η γωνιακή ταχύτητα ω΄ που αποκτά το στεφάνι, αμέσως μετά την κρούση με την κόχη Κτου πεζουλιού, πρέπει να είναι τουλάχιστον τόση ώστε η ακτίνα ΚΟ να γίνει κατακόρυφη.
Έτσι με εφαρμογή του θεωρήματος έργου ενέργειας, θα είναι:
Ο
Ο΄
h
©AΝΔΡΕΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ
Επιστρέφουμε στη στιγμή της πρόσκρουσης με την κόχη του πεζουλιού και απ’ τηδιατήρηση της στροφορμής ως προς το Κ, έχουμε:
